【人教版】高中数学选择性必修第一册 (A版): 从数轴到复平面：复数的代数定义与几何对映

想象一下，如果你只能在一根细绳上左右移动，这就是实数轴的世界。如果你想向上跳跃，绳子无法承载你。引入复数就像是给你的世界增加了一个全新的维度。每一个形如 $z = a + bi$ 的复数，不再仅仅是数轴上的一个点，而是平面上的坐标 $(a, b)$，或者是从原点射出的一束向量。这种“数”与“形”的完美对映，是数学史上最伟大的飞跃之一。

复数的代数定义与几何对映

在选择性必修第一册中，我们学习了复数系。复数由实部和虚部组成，其标准代数形式为 $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$)。

为了直观理解复数，我们建立了复平面：

实轴：对应 $x$ 轴，代表复数的实部。
虚轴：对应 $y$ 轴，代表复数的虚部。
点与复数：复数 $z = a + bi$ 与点 $Z(a, b)$ 形成一一对应关系。
向量与复数：复数 $z = a + bi$ 与平面向量 $\vec{OZ}$ 形成一一对应关系。

复数的模 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，其几何意义是复平面内点 $Z$ 到原点的距离。而 $|z_1 - z_2|$ 则是两点间的距离。

$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$

QUESTION 1

在复平面内，$O$ 是原点，向量 $\vec{OA}$ 对应的复数是 $2+i$。若点 $A$ 关于实轴的对称点为点 $B$，求向量 $\vec{OB}$ 对应的复数。

$2-i$

$-2+i$

$-2-i$

$1+2i$

QUESTION 2

紧接上题，如果点 $B$ 关于虚轴的对称点为点 $C$，求点 $C$ 对应的复数。

$2+i$

$-2-i$

$-2+i$

$2-i$

QUESTION 3

如果复数 $z$ 的实部为正数，虚部为 $3$，那么在复平面内，复数 $z$ 对应的点位于怎样的图形上？

第一象限内的一条射线

虚轴上的一条线段

整个第一象限

实轴上方的一条直线

QUESTION 4

计算复数运算的结果：$(-3-4i) + (2+i) - (1-5i)$。

$-2+2i$

$-2-8i$

$0$

$-4+2i$

QUESTION 5

已知复数 $z$ 的虚部为 $\sqrt{3}$，在复平面内复数 $z$ 对应的向量的模为 $2$，求这个复数 $z$。

$1 + \sqrt{3}i$ 或 $-1 + \sqrt{3}i$

$1 + \sqrt{3}i$

$\pm 1 - \sqrt{3}i$

$\sqrt{7} + \sqrt{3}i$

QUESTION 6

复数 $(a+bi)$ 与 $(c+di)$ 的积是实数的充要条件是：

$ad+bc=0$

$ac+bd=0$

$ac=bd$

$ad=bc$

QUESTION 7

在复数集 $\mathbb{C}$ 中解方程 $4x^2+9=0$。

$x = \pm \frac{3}{2}i$

$x = \pm \frac{9}{4}i$

$x = \frac{3}{2}i$

无解

QUESTION 8

若复数 $z$ 的模为 $5$，虚部为 $-4$，则复数 $z$ 为：

$3-4i$ 或 $-3-4i$

$3-4i$

$\pm 3 + 4i$

$\pm 9 - 4i$

QUESTION 9

求复平面内两个复数 $z_1=8+5i$ 与 $z_2=4+2i$ 对应两点间的距离。

$5$

$\sqrt{13}$

$25$

$7$